Pierre de Fermat

Le saviez-vous?

 

Pierre de Fermat est un mathématicien français né pas si loin que ça de chez nous, à Beaumont-de-Lomagne.

 

Ce mathématicien est remarquable à plus d’un titre, mais savez-vous pourquoi ?

 

Nous sommes en 1637, un an avant la naissance de Louis XIV, et les scientifiques français vont bientôt donner naissance à une grande révolution conceptuelle, je voudrais vous expliquer comment, et de quelle révolution il s’agit.

 

A cette époque, un des problèmes qui agite les scientifiques est celui de l’optique. L’optique est une science qui va faire le lien entre différents phénomènes que l’on connaissait sans vraiment les comprendre.

 

Une découverte ancienne

 

Les effets optiques sont déjà connus depuis longtemps. On sait que 4000 ans avant notre ère, des verres lentiformes étaient utilisés. Il est évident que certains quartz ont des propriétés fascinantes :

  • Changer les couleurs
  • Changer les formes 
  • Permettre de se voir dans une glace.

 

Les gouttes d’eau ont des propriétés similaires. Elles peuvent déformer une image ; lorsqu’on projette de l’eau devant soi, si on a le soleil dans le dos, on peut créer un arc en ciel.

 

Ceux qui pêchaient devaient aussi trouver mystérieux le fait de voir qu’une lance semble se casser en deux lorsqu’on la plonge dans l’eau, et ressortir intacte.

 

Il est permis de penser que les hommes préhistoriques connaissaient tous ces phénomènes, devaient les observer, en jouer. Bien sûr ils savaient aussi que la lumière est quelque chose qui se propage et que tout objet placé sur son chemin crée une ombre.

 

Une maîtrise empirique

 

A l’antiquité, on rapporte les premières utilisations de verres correcteurs, de miroirs, de loupes.

Vers 1200, l’utilisation de lunettes de vue devient courante.

 

On commence à tailler le verre, ou à polir les métaux pour leur donner une forme et des propriétés optiques.

 

On découvre aussi que l’œil comporte une lentille optique, qui focalise les rayons lumineux.

 

D’une découverte, on est ainsi passé à une technique très aboutie, permettant de fabriquer des lunettes de vue, et divers objets optiques (miroirs, réflecteurs, loupes) dans différents matériaux.

 

Un questionnement

 

 

 

Nous revenons en 1637, à une époque où on commence à essayer de comprendre quelles sont les lois qui régissent le fonctionnement de la lumière.

 

On savait à ce moment-là trois choses :

 

  • La lumière se propage en ligne droite.

     

  • Elle peut être réfléchie, et dans ce cas, le rayon incident et le rayon réfléchi sont symétriques.

Phénomène de réflexion (symétrie).

 

 

  • Elle peut être réfractée en changeant de milieu de propagation. Dans ce cas, son trajet s’infléchit, ce qui explique pourquoi lorsqu’on plonge un bâton dans l’eau, il semble cassé.

     

Phénomène de réfraction.

 

On savait aussi quantifier ces phénomènes : dans une réfraction, il existe un rapport constant entre l’angle du rayon réfracté, et l’angle du rayon incident.

 

Ce rapport, que l’on appelle aujourd’hui la Loi de Snell-Descartes, avait déjà été découvert par Ibn Sahl, mathématicien Perse, vers 984.

 

Etant donné que l’on savait tout, en 1637, pourquoi les scientifiques continuaient à chercher ? Et d’ailleurs, que cherchaient-ils ?

 

Ils cherchaient la réponse à une question : pourquoi ?

 

René Descartes

 

René Descartes écrit en 1637 La Dioptrique, un traité sur l’optique. Il y fait des raisonnements sur la manière dont la lumière devrait être déviée en entrant dans l’eau.

 

 

Les idées de Descartes sont :

  • Que l’on peut étudier séparément le mouvement vertical et horizontal d’un objet.
  • Que l’on peut expliquer le comportement de la lumière en faisant une analogie avec le mouvement d’une balle frappée par une raquette.
  • Que ladite balle, en entrant dans l’eau, sera ralentie dans son mouvement vertical, mais pas dans son mouvement horizontal.
  • Ceci explique pourquoi la balle, au lieu de suivre (voir la figure ci-dessus) la trajectoire A-B-D, va suivre la trajectoire A-B-I.

 

 

Pierre de Fermat réfute l’interprétation de Descartes

 

Pierre de Fermat trouve deux incohérences dans l’argument de René Descartes :

 

  • Dans les faits, la lumière n’est pas déviée dans le même sens que ce que décrit René Descartes.
  • Le raisonnement de René Descartes est erroné : il n’y a pas de raison pour que l’eau ralentisse la balle uniquement dans le sens de son entrée dans l’eau.

 

Pierre de Fermat va alors proposer une interprétation révolutionnaire du comportement de la lumière.

Son interprétation repose sur un raisonnement très original.

Voici le raisonnement décrit d'une manière anachronique,  mais valable : supposons qu’un maître-nageur se trouve sur une plage au point « S ». Il doit secourir une personne qui se noie, située au point « B ».

 

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Le problème du maître-nageur

 

Naturellement, il ne va pas y aller en ligne droite. Etant donné qu’il court plus vite qu’il ne nage, il va courir comme c’est indiqué sur le schéma ci-dessus : en essayant de n’avoir pas trop à  nager.

 

Coïncidence : l’angle formé par les segments [SI] et [IB] suit la loi de Snell-Descartes ! C’est-à-dire que tout se passe comme si la lumière faisait comme notre maître-nageur : relier le point S et le point B par le chemin le plus court.

 

Pierre de Fermat va donc énoncer trois principes :

  • La lumière se propage moins vite dans l’eau que dans l’air.
  • La lumière cherche à parcourir le chemin le plus rapide.
  • Si un rayon de lumière utilise un trajet pour relier deux points « A » et « B », tout autre trajet prendrait plus de temps. *

     

    *La vraie formulation est : tout autre chemin situé arbitrairement proche du chemin effectivement suivi serait de même durée.

     

L’interprétation de Fermat est d’une portée révolutionnaire

 

L’idée de Fermat contient plusieurs prédictions qui seront vérifiées par la suite (aucun moyen existant au 17è siècle n’aurait permis de les vérifier).

  • La lumière se propage à une certaine vitesse finie (prouvé en 1675)
  • Cette vitesse n’est pas la même dans tous les milieux (l’explication ne tiendrait pas dans cet article).  

 

Mais surtout, Fermat énonce un principe qui suffit, à lui tout seul, à rassembler l’ensemble des connaissances de l’optique géométrique en une phrase si simple : la lumière cherche à parcourir le moins de chemin possible.

 

Cette phrase explique tous les phénomènes d’optique géométrique (lunettes, loupes, miroirs, hologrammes, phares, antennes paraboliques, …)

 

Ce Principe de Fermat sera généralisé bien au-delà de l’optique. Il donnera plus tard naissance au Principe de Moindre Action.

 

Le « Principe de Moindre Action » permettra une formulation élégante et très économe en calculs des lois de la physique. Ce principe sera définitivement  démontré par Joseph Louis Lagrange, qui prouvera son équivalence avec l’interprétation de la mécanique de Galilée (mort en 1642) et d’Isaac Newton né en 1643.

 

Pour Galilée et Newton, les objets de notre monde réagissent instantanément à des forces qui leur sont appliqués.

 

Pour Fermat, Lagrange, la nature cherche à effectuer le moindre effort sur l’ensemble d’un phénomène. Tout se passe comme si la nature connaissait l’avenir, et réalisait cet avenir en effectuant le moindre effort possible.  C’est cette interprétation de la physique qui domine aujourd’hui ; non parce qu’elle est plus vraie (les deux visions sont en fait équivalentes) mais parce qu’elle  permet d’écrire des calculs plus faciles à résoudre (les scientifiques aiment aussi utiliser le moins d’action possible !).

 

Le principe de moindre action est toujours utilisé de manière systématique pour décrire les systèmes mécaniques ou physiques, et sera incontournable dans l’énoncé des théories qui décrivent notre univers (Electrodynamique Quantique, Chromodynamique, Relativité Générale). Il est aussi utilisé en économie, et permet de résoudre des problèmes d’optimisation. Par exemple : déterminer la forme que prend une chaine suspendue à deux crochets, la forme d’une bulle d’eau, etc.

 

http://science.larouchepac.com/fermat/fermat-maxmin.pdf

 

L’esprit de Pierre de Fermat a profondément marqué la science. Ses principes restent actuels, 350 ans après sa mort. Pierre de Fermat était aussi avocat, poète, latiniste, helléniste, mathématicien autodidacte. Il a laissé une correspondance abondante et éparse qui continue aujourd'hui de fasciner les chercheurs.

 

 

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Commentaires (1)

Lecteur occasionnel
  • 1. Lecteur occasionnel | 22/07/2017
Très intéressant , surtout très utile pour aller secourir une personne à partir d'une plage
Merci pour cet article

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